{l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2-ஐ 9x+4y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3-ஐ 5x-11-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x மற்றும் -15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$3x+14y+33=78$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 33-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+14y=78-33$$

78-இலிருந்து 33-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$3x+14y=45$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+14y=45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-14y+45$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

-14y+45-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

பிற சமன்பாடு 13x-7y=-8-இல் x-க்கு -\frac{14y}{3}+15-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

-\frac{14y}{3}+15-ஐ 13 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-7y-க்கு -\frac{182y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 195-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{203}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

x=-\frac{14}{3}y+15-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

3-ஐ -\frac{14}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-14+15$$

-14-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2-ஐ 9x+4y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3-ஐ 5x-11-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x மற்றும் -15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$3x+14y+33=78$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 33-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+14y=78-33$$

78-இலிருந்து 33-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$3x+14y=45$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2-ஐ 9x+4y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3-ஐ 5x-11-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x மற்றும் -15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$3x+14y+33=78$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 33-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+14y=78-33$$

78-இலிருந்து 33-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$3x+14y=45$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x மற்றும் 13x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 13-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 39x+182y=585-இலிருந்து 39x-21y=-24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

-39x-க்கு 39x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 39x மற்றும் -39x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$182y+21y=585+24$$

21y-க்கு 182y-ஐக் கூட்டவும்.

$$203y=585+24$$

24-க்கு 585-ஐக் கூட்டவும்.

$$203y=609$$

இரு பக்கங்களையும் 203-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

13x-7y=-8-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$13x-7\times 3=-8$$

3-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$13x-21=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$13x=13$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=3$$