{l}{3/4x-1/4y=2}{1/2x+3/4y=-frac{1}{2}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x - \frac { 1 } { 4 } y = 2 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}y+2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{3}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{4}y+2\right)$$

\frac{y}{4}+2-ஐ \frac{4}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

பிற சமன்பாடு \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}-இல் x-க்கு \frac{8+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

\frac{8+y}{3}-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

\frac{3y}{4}-க்கு \frac{y}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{11}{12}y+\frac{4}{3}=-\frac{1}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{11}{12}y=-\frac{11}{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{11}{12}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{8}{3}$$

-2-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{2}{3} உடன் \frac{8}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}&\frac{4}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{12}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\times 2+\frac{4}{11}\left(-\frac{1}{2}\right)\\-\frac{8}{11}\times 2+\frac{12}{11}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}$$

\frac{3x}{4} மற்றும் \frac{x}{2}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{2}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{3}{4}-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)y=\frac{1}{2}\times 2,\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}y=\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y=1,\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}y=-\frac{3}{8}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y=1-இலிருந்து \frac{3}{8}x+\frac{9}{16}y=-\frac{3}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-\frac{1}{8}y-\frac{9}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

-\frac{3x}{8}-க்கு \frac{3x}{8}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{3x}{8} மற்றும் -\frac{3x}{8} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-\frac{1}{8}y-\frac{9}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

-\frac{9y}{16}-க்கு -\frac{y}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{16}y=1+\frac{3}{8}$$

\frac{3}{8}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{16}y=\frac{11}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{11}{16}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-2$$

\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=-\frac{1}{2}-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\left(-2\right)=-\frac{1}{2}$$

-2-ஐ \frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{3}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}x=1$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-2$$