{l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

A, B-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$A=300$$

$$B=200$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் A-ஐத் தனிப்படுத்தி A-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் B-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{2}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

-B+400-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

பிற சமன்பாடு A+\frac{4}{5}B=460-இல் A-க்கு -\frac{3B}{2}+600-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{4B}{5}-க்கு -\frac{3B}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 600-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{7}{10}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$B=200$$

A=-\frac{3}{2}B+600-இல் B-க்கு 200-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

200-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$A=-300+600$$

-300-க்கு 600-ஐக் கூட்டவும்.

$$A=300$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=300,B=200$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் A மற்றும் B-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$A=300,B=200$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{2A}{3} மற்றும் A-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{2}{3}-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{2}{3}A+B=400-இலிருந்து \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{2A}{3}-க்கு \frac{2A}{3}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{2A}{3} மற்றும் -\frac{2A}{3} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{8B}{15}-க்கு B-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{920}{3}-க்கு 400-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{15}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$B=200$$

A+\frac{4}{5}B=460-இல் B-க்கு 200-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

200-ஐ \frac{4}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$A+160=460$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 160-ஐக் கழிக்கவும்.

$$A=300$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=300,B=200$$