{l}{11/6x-7-1/3y=7}{11/6y-7/2-frac{1}{3}x=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 11 } { 6 } x - 7 - \frac { 1 } { 3 } y = 7 } \\ { \frac { 11 } { 6 } y - \frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{322}{39} = 8\frac{10}{39} \approx 8.256410256$$

$$y = \frac{133}{39} = 3\frac{16}{39} \approx 3.41025641$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{11}{6}x=\frac{1}{3}y+14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{11}{6}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{6}{11}\left(\frac{1}{3}y+14\right)$$

\frac{y}{3}+14-ஐ \frac{6}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}$$

பிற சமன்பாடு -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0-இல் x-க்கு \frac{84+2y}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}\right)+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

\frac{84+2y}{11}-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{33}y-\frac{28}{11}+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

\frac{11y}{6}-க்கு -\frac{2y}{33}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{39}{22}y-\frac{28}{11}-\frac{7}{2}=0$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{7}{2} உடன் -\frac{28}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{39}{22}y-\frac{133}{22}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{133}{22}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{39}{22}y=\frac{133}{22}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{39}{22}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{133}{39}$$

x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}-இல் y-க்கு \frac{133}{39}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{11}\times \frac{133}{39}+\frac{84}{11}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{133}{39}-ஐ \frac{2}{11} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{266}{429}+\frac{84}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{266}{429} உடன் \frac{84}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{322}{39}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{4}{39}&\frac{22}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}\times 14+\frac{4}{39}\times \frac{7}{2}\\\frac{4}{39}\times 14+\frac{22}{39}\times \frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{322}{39}\\\frac{133}{39}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

\frac{11x}{6} மற்றும் -\frac{x}{3}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -\frac{1}{3}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{11}{6}-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{11}{6}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y-\frac{1}{3}\left(-7\right)=-\frac{1}{3}\times 7,\frac{11}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}y+\frac{11}{6}\left(-\frac{7}{2}\right)=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3},-\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3}-இலிருந்து -\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

\frac{11x}{18}-க்கு -\frac{11x}{18}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{11x}{18} மற்றும் \frac{11x}{18} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

-\frac{121y}{36}-க்கு \frac{y}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{77}{12} உடன் \frac{7}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{35}{4}=-\frac{7}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{35}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{133}{12}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{13}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{133}{39}$$

-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0-இல் y-க்கு \frac{133}{39}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}\times \frac{133}{39}-\frac{7}{2}=0$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{133}{39}-ஐ \frac{11}{6} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1463}{234}-\frac{7}{2}=0$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{7}{2} உடன் \frac{1463}{234}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{322}{117}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{322}{117}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{322}{117}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=\frac{322}{39}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$