{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 100-ஆல் பெருக்கவும்.

$$108x+110y=100800$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{110}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{108}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$108x+110y=100800$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 110y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$108x=-110y+100800$$

இரு பக்கங்களையும் 108-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

-110y+100800-ஐ \frac{1}{108} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

பிற சமன்பாடு \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028-இல் x-க்கு -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}-ஐ \frac{11}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{27y}{25}-க்கு -\frac{121y}{108}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{3080}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{109}{2700}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}-இல் y-க்கு -\frac{3600}{109}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{3600}{109}-ஐ -\frac{55}{54} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{11000}{327} உடன் \frac{2800}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{105400}{109}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 100-ஆல் பெருக்கவும்.

$$108x+110y=100800$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{110}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{108}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 100-ஆல் பெருக்கவும்.

$$108x+110y=100800$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{110}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{108}{100}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x மற்றும் \frac{11x}{10}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{11}{10}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 108-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{594}{5}x+121y=110880-இலிருந்து \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{594x}{5}-க்கு \frac{594x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{594x}{5} மற்றும் -\frac{594x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{2916y}{25}-க்கு 121y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

-111024-க்கு 110880-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{109}{25}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028-இல் y-க்கு -\frac{3600}{109}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{3600}{109}-ஐ \frac{27}{25} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{3888}{109}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{11}{10}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{105400}{109}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$