{l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் x-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

x+\frac{1}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு -\frac{1}{2}y+3x=10-இல் y-க்கு 5x+\frac{5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

5x+\frac{5}{2}-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

3x-க்கு -\frac{5x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2}-இல் x-க்கு \frac{45}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

\frac{45}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{225}{2} உடன் \frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=115$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} மற்றும் -\frac{y}{2}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -\frac{1}{2}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{5}-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}-இலிருந்து -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{y}{10}-க்கு -\frac{y}{10}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{y}{10} மற்றும் \frac{y}{10} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{3x}{5}-க்கு \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-2-க்கு -\frac{1}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10-இல் x-க்கு \frac{45}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

\frac{45}{2}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{135}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=115$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$