{l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,12,3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4-ஐ 2x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

6x மற்றும் -8x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 20y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

-2y மற்றும் 20y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x+18y=-21+1$$

-21 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -20.

$$-2x+18y=-20$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-2x+18y=-20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x=-18y-20$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

-18y-20-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=9y+10$$

பிற சமன்பாடு \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}-இல் x-க்கு 9y+10-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

9y+10-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

\frac{2y}{7}-க்கு \frac{9y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{73}{35}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-1$$

x=9y+10-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

-1-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-9+10$$

-9-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,12,3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4-ஐ 2x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

6x மற்றும் -8x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 20y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

-2y மற்றும் 20y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x+18y=-21+1$$

-21 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -20.

$$-2x+18y=-20$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,12,3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4-ஐ 2x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

6x மற்றும் -8x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 20y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

-2y மற்றும் 20y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x+18y=-21+1$$

-21 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -20.

$$-2x+18y=-20$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x மற்றும் \frac{x}{5}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{5}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4-இலிருந்து -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{2x}{5}-க்கு -\frac{2x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{2x}{5} மற்றும் \frac{2x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{4y}{7}-க்கு \frac{18y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

-\frac{6}{35}-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{146}{35}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-1$$

\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

-1-ஐ \frac{2}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-1$$