{c}{x-y=4}{6x+7y=-80}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { x - y = 4 } \\ { 6 x + 7 y = - 80 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-4$$

$$y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=4,6x+7y=-80$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+4$$

பிற சமன்பாடு 6x+7y=-80-இல் x-க்கு y+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(y+4\right)+7y=-80$$

y+4-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$6y+24+7y=-80$$

7y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$13y+24=-80$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$13y=-104$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-8$$

x=y+4-இல் y-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-8+4$$

-8-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-8$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=4,6x+7y=-80$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{7-\left(-6\right)}&\frac{1}{7-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-80\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\times 4+\frac{1}{13}\left(-80\right)\\-\frac{6}{13}\times 4+\frac{1}{13}\left(-80\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-4,y=-8$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=4,6x+7y=-80$$

x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6x+6\left(-1\right)y=6\times 4,6x+7y=-80$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x-6y=24,6x+7y=-80$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x-6y=24-இலிருந்து 6x+7y=-80-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x-6y-7y=24+80$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6y-7y=24+80$$

-7y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=24+80$$

80-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=104$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-8$$

6x+7y=-80-இல் y-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x+7\left(-8\right)=-80$$

-8-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-56=-80$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 56-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=-24$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-8$$