{c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+21$$

பிற சமன்பாடு 0.25x+0.05y=3.35-இல் x-க்கு -y+21-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

-y+21-ஐ 0.25 முறை பெருக்கவும்.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

\frac{y}{20}-க்கு -\frac{y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5.25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-0.2y=-1.9$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=9.5$$

x=-y+21-இல் y-க்கு 9.5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-9.5+21$$

-9.5-க்கு 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=11.5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=11.5,y=9.5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=11.5,y=9.5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x மற்றும் \frac{x}{4}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.25-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

எளிமையாக்கவும்.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 0.25x+0.25y=5.25-இலிருந்து 0.25x+0.05y=3.35-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

-\frac{x}{4}-க்கு \frac{x}{4}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{x}{4} மற்றும் -\frac{x}{4} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

-\frac{y}{20}-க்கு \frac{y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.2y=5.25-3.35$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -3.35 உடன் 5.25-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$0.2y=1.9$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=9.5$$

0.25x+0.05y=3.35-இல் y-க்கு 9.5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், 9.5-ஐ 0.05 முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$0.25x+0.475=3.35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 0.475-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.25x=2.875$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=11.5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=11.5,y=9.5$$