{c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=y+4$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

y+4-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

பிற சமன்பாடு -12x+2y=-3-இல் x-க்கு \frac{y}{4}+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

\frac{y}{4}+1-ஐ -12 முறை பெருக்கவும்.

$$-3y-12+2y=-3$$

2y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y-12=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=9$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-9$$

x=\frac{1}{4}y+1-இல் y-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

-9-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

-\frac{9}{4}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{5}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

4x மற்றும் -12x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -12-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -48x+12y=-48-இலிருந்து -48x+8y=-12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

48x-க்கு -48x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -48x மற்றும் 48x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12y-8y=-48+12$$

-8y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=-48+12$$

12-க்கு -48-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=-36$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-9$$

-12x+2y=-3-இல் y-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

-9-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-12x-18=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$-12x=15$$

இரு பக்கங்களையும் -12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$