{c}{4x+2y=50}{x+y=25}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=25$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+2y=50,x+y=25$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+2y=50$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-2y+50$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

-2y+50-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

பிற சமன்பாடு x+y=25-இல் x-க்கு \frac{-y+25}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=25$$

y-க்கு -\frac{y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=25$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{25}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{2}y=\frac{25}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=25$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}-இல் y-க்கு 25-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times 25+\frac{25}{2}$$

25-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-25+25}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{25}{2} உடன் \frac{25}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=25$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+2y=50,x+y=25$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\25\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-25\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 25\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\25\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=25$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+2y=50,x+y=25$$

4x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 25$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4x+2y=50,4x+4y=100$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4x+2y=50-இலிருந்து 4x+4y=100-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4x+2y-4y=50-100$$

-4x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4x மற்றும் -4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2y-4y=50-100$$

-4y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=50-100$$

-100-க்கு 50-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=-50$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=25$$

x+y=25-இல் y-க்கு 25-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+25=25$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=25$$