{c}{19x+19y=40}{3x+8y=15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { 19 x + 19 y = 40 } \\ { 3 x + 8 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{7}{19}\approx 0.368421053$$

$$y = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$19x+19y=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 19y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$19x=-19y+40$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{19}\left(-19y+40\right)$$

-19y+40-ஐ \frac{1}{19} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-y+\frac{40}{19}$$

பிற சமன்பாடு 3x+8y=15-இல் x-க்கு -y+\frac{40}{19}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-y+\frac{40}{19}\right)+8y=15$$

-y+\frac{40}{19}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-3y+\frac{120}{19}+8y=15$$

8y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5y+\frac{120}{19}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{120}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y=\frac{165}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{33}{19}$$

x=-y+\frac{40}{19}-இல் y-க்கு \frac{33}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{33}{19}+\frac{40}{19}$$

\frac{33}{19}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-33+40}{19}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{33}{19} உடன் \frac{40}{19}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{7}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19\times 8-19\times 3}&-\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\\-\frac{3}{19\times 8-19\times 3}&\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{95}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}\times 40-\frac{1}{5}\times 15\\-\frac{3}{95}\times 40+\frac{1}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\\\frac{33}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

19x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 19-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 19x+3\times 19y=3\times 40,19\times 3x+19\times 8y=19\times 15$$

எளிமையாக்கவும்.

$$57x+57y=120,57x+152y=285$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 57x+57y=120-இலிருந்து 57x+152y=285-ஐக் கழிக்கவும்.

$$57x-57x+57y-152y=120-285$$

-57x-க்கு 57x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 57x மற்றும் -57x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$57y-152y=120-285$$

-152y-க்கு 57y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-95y=120-285$$

-285-க்கு 120-ஐக் கூட்டவும்.

$$-95y=-165$$

இரு பக்கங்களையும் -95-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{33}{19}$$

3x+8y=15-இல் y-க்கு \frac{33}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+8\times \frac{33}{19}=15$$

\frac{33}{19}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+\frac{264}{19}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{264}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=\frac{21}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{7}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$