{l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=12$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2x-2y=3y-2$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x-2y=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x-2y-3y=-2$$

-2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-x-5y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3y=18$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-x-5y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=5y-2$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

5y-2-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-5y+2$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=18-இல் x-க்கு -5y+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

-5y+2-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-10y+4+3y=18$$

3y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y+4=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7y=14$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

x=-5y+2-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

-2-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=10+2$$

10-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=12$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=12,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2x-2y=3y-2$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x-2y=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x-2y-3y=-2$$

-2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-x-5y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3y=18$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=12,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2x-2y=3y-2$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x-2y=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x-2y-3y=-2$$

-2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-x-5y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3y=18$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

-x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -2x-10y=-4-இலிருந்து -2x-3y=-18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

2x-க்கு -2x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -2x மற்றும் 2x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10y+3y=-4+18$$

3y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=-4+18$$

18-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=14$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

2x+3y=18-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

-2-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x-6=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=24$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=12$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=12,y=-2$$