{l}{-4x+5y=-46}{5x-4y=44}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 4 x + 5 y = - 46 }\\{ 5 x - 4 y = 44 }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=-6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-4x+5y=-46$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=-5y-46$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y-46\right)$$

-5y-46-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}$$

பிற சமன்பாடு 5x-4y=44-இல் x-க்கு \frac{5y}{4}+\frac{23}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}\right)-4y=44$$

\frac{5y}{4}+\frac{23}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{25}{4}y+\frac{115}{2}-4y=44$$

-4y-க்கு \frac{25y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{9}{4}y+\frac{115}{2}=44$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{115}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{27}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{9}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-6$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}-இல் y-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{4}\left(-6\right)+\frac{23}{2}$$

-6-ஐ \frac{5}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-15+23}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{15}{2} உடன் \frac{23}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-46\right)+\frac{5}{9}\times 44\\\frac{5}{9}\left(-46\right)+\frac{4}{9}\times 44\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=-6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

-4x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\left(-4\right)x+5\times 5y=5\left(-46\right),-4\times 5x-4\left(-4\right)y=-4\times 44$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-20x+25y=-230,-20x+16y=-176$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -20x+25y=-230-இலிருந்து -20x+16y=-176-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-20x+20x+25y-16y=-230+176$$

20x-க்கு -20x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -20x மற்றும் 20x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$25y-16y=-230+176$$

-16y-க்கு 25y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=-230+176$$

176-க்கு -230-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=-54$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-6$$

5x-4y=44-இல் y-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x-4\left(-6\right)=44$$

-6-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$5x+24=44$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=20$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-6$$