{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3,15-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3-ஐ 3x+20y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5-ஐ 8y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y மற்றும் -40y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 16y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$-3x+4y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+3y=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-3y+10$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு -3x+4y=5-இல் x-க்கு -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

4y-க்கு \frac{9y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{15}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{25}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

2-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{3}{2} உடன் \frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3,15-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3-ஐ 3x+20y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5-ஐ 8y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y மற்றும் -40y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 16y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$-3x+4y=5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3,15-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3-ஐ 3x+20y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5-ஐ 8y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y மற்றும் -40y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 16y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$-3x+4y=5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -12x-9y=-30-இலிருந்து -12x+16y=20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

12x-க்கு -12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -12x மற்றும் 12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9y-16y=-30-20$$

-16y-க்கு -9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-25y=-30-20$$

-20-க்கு -30-ஐக் கூட்டவும்.

$$-25y=-50$$

இரு பக்கங்களையும் -25-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

-3x+4y=5-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+4\times 2=5$$

2-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x+8=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-3$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=2$$