{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$u=25$$

$$v=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் u-ஐத் தனிப்படுத்தி u-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$u-30v=-65$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 30v-ஐக் கூட்டவும்.

$$u=30v-65$$

பிற சமன்பாடு -3u+80v=165-இல் u-க்கு 30v-65-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

30v-65-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-90v+195+80v=165$$

80v-க்கு -90v-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10v+195=165$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 195-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10v=-30$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=3$$

u=30v-65-இல் v-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u=30\times 3-65$$

3-ஐ 30 முறை பெருக்கவும்.

$$u=90-65$$

90-க்கு -65-ஐக் கூட்டவும்.

$$u=25$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=25,v=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் u மற்றும் v-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$u=25,v=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u மற்றும் -3u-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -3u+90v=195-இலிருந்து -3u+80v=165-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3u-க்கு -3u-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3u மற்றும் 3u ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$90v-80v=195-165$$

-80v-க்கு 90v-ஐக் கூட்டவும்.

$$10v=195-165$$

-165-க்கு 195-ஐக் கூட்டவும்.

$$10v=30$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=3$$

-3u+80v=165-இல் v-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3u+80\times 3=165$$

3-ஐ 80 முறை பெருக்கவும்.

$$-3u+240=165$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 240-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3u=-75$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=25$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=25,v=3$$