{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$p=2$$

$$q=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் p-ஐத் தனிப்படுத்தி p-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5p-q=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் q-ஐக் கூட்டவும்.

$$5p=q+7$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

q+7-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

பிற சமன்பாடு -2p+3q=5-இல் p-க்கு \frac{7+q}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

\frac{7+q}{5}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

3q-க்கு -\frac{2q}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{14}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{13}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}-இல் q-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக p-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

3-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{3}{5} உடன் \frac{7}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$p=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$p=2,q=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் p மற்றும் q-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$p=2,q=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p மற்றும் -2p-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -10p+2q=-14-இலிருந்து -10p+15q=25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

10p-க்கு -10p-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -10p மற்றும் 10p ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2q-15q=-14-25$$

-15q-க்கு 2q-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13q=-14-25$$

-25-க்கு -14-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13q=-39$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$q=3$$

-2p+3q=5-இல் q-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக p-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2p+3\times 3=5$$

3-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-2p+9=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2p=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$p=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$p=2,q=3$$