{r}{2x-1/2+y-3/3=11/6}{-2x/5+frac{y-1}{10}=-frac{6}{5}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

3-ஐ 2x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

2-ஐ y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2y-6=11$$

-3-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$6x-9+2y=11$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+2y=11+9$$

11 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 20.

$$6x+2y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -4.

$$-4x+y-1=-12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+y=-12+1$$

-12 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -11.

$$-4x+y=-11$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x+2y=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-2y+20$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

பிற சமன்பாடு -4x+y=-11-இல் x-க்கு \frac{-y+10}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

\frac{-y+10}{3}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

y-க்கு \frac{4y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{40}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{3} உடன் \frac{10}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

3-ஐ 2x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

2-ஐ y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2y-6=11$$

-3-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$6x-9+2y=11$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+2y=11+9$$

11 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 20.

$$6x+2y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -4.

$$-4x+y-1=-12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+y=-12+1$$

-12 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -11.

$$-4x+y=-11$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

3-ஐ 2x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

2-ஐ y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-3+2y-6=11$$

-3-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$6x-9+2y=11$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+2y=11+9$$

11 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 20.

$$6x+2y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -4.

$$-4x+y-1=-12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+y=-12+1$$

-12 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -11.

$$-4x+y=-11$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

6x மற்றும் -4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -24x-8y=-80-இலிருந்து -24x+6y=-66-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

24x-க்கு -24x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -24x மற்றும் 24x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-8y-6y=-80+66$$

-6y-க்கு -8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-14y=-80+66$$

66-க்கு -80-ஐக் கூட்டவும்.

$$-14y=-14$$

இரு பக்கங்களையும் -14-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

-4x+y=-11-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4x+1=-11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=-12$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$