{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

பிரதியீடு மற்றும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் kx-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-kx=b$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்துவதன் மூலம் y-க்கான y+\left(-k\right)x=b-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \left(-k\right)x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=kx+b$$

பிற சமன்பாடு x^{2}+4y^{2}=4-இல் y-க்கு kx+b-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2}-க்கு x^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 1+4k^{2}, b-க்குப் பதிலாக 4\times 2kb மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -4+4b^{2}-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4+4b^{2}-ஐ -4-16k^{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right)-க்கு 64k^{2}b^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}-ஐத் தீர்க்கவும். 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-க்கு -8kb-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-ஐ 2+8k^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}-ஐத் தீர்க்கவும். -8kb–இலிருந்து 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}-ஐ 2+8k^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x-க்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளன: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} மற்றும் -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற y-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, y=kx+b சமன்பாட்டில் x-க்காக \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ஐ k முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற y-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, இப்போது y=kx+b சமன்பாட்டில் x-க்காக -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ஐப் பிரதியிட்டு, தீர்க்கவும்.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}-ஐ k முறை பெருக்கவும்.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$