{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எதிர்மறைக் குறியீட்டை பிரித்தெடுப்பதன் மூலம் பின்னம் \frac{-4}{5}-ஐ -\frac{4}{5}-ஆக மீண்டும் எழுதலாம்.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

பிற சமன்பாடு 3y+8x=-45-இல் y-க்கு -\frac{4x}{5}-9-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

-\frac{4x}{5}-9-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

8x-க்கு -\frac{12x}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 27-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{28}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{45}{14}$$

y=-\frac{4}{5}x-9-இல் x-க்கு -\frac{45}{14}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{45}{14}-ஐ -\frac{4}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

\frac{18}{7}-க்கு -9-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-\frac{45}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எதிர்மறைக் குறியீட்டை பிரித்தெடுப்பதன் மூலம் பின்னம் \frac{-4}{5}-ஐ -\frac{4}{5}-ஆக மீண்டும் எழுதலாம்.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் \frac{4}{5}x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் \frac{8x}{3}-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3y+8x=-45$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எதிர்மறைக் குறியீட்டை பிரித்தெடுப்பதன் மூலம் பின்னம் \frac{-4}{5}-ஐ -\frac{4}{5}-ஆக மீண்டும் எழுதலாம்.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் \frac{4}{5}x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் \frac{8x}{3}-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3y+8x=-45$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y+\frac{12}{5}x=-27-இலிருந்து 3y+8x=-45-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-8x-க்கு \frac{12x}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

45-க்கு -27-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{28}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{45}{14}$$

3y+8x=-45-இல் x-க்கு -\frac{45}{14}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

-\frac{45}{14}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{180}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{45}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$