{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x_{1} ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x_{1}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x_{2}=2x_{1}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x_{1}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x_{1}-ஐத் தனிப்படுத்தி x_{1}-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x_{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

பிற சமன்பாடு -2x_{1}+x_{2}=0-இல் x_{1}-க்கு -x_{2}+97-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-x_{2}+97-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

x_{2}-க்கு 2x_{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x_{2}-194=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 194-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x_{2}=194$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97-இல் x_{2}-க்கு \frac{194}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

-\frac{194}{3}-க்கு 97-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x_{1} ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x_{1}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x_{2}=2x_{1}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x_{1}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x_{1} மற்றும் x_{2}-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x_{1} ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x_{1}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x_{2}=2x_{1}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x_{1}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x_{1}+x_{2}=97-இலிருந்து -2x_{1}+x_{2}=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

-x_{2}-க்கு x_{2}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x_{2} மற்றும் -x_{2} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

2x_{1}-க்கு x_{1}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x_{1}=97$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0-இல் x_{1}-க்கு \frac{97}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{2}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

\frac{97}{3}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{194}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$