{l}{x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1}{x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 1 } \\ { x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 4 x _ { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x_{1}=-2x_{3}-1$$

$$x_{2}=2-x_{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1,x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x_{1}-ஐத் தனிப்படுத்தி x_{1}-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x_{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}+x_{2}=1-3x_{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x_{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}=-x_{2}+1-3x_{3}$$

பிற சமன்பாடு x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3-இல் x_{1}-க்கு -x_{2}+1-3x_{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-x_{2}+1-3x_{3}+2x_{2}+4x_{3}=3$$

2x_{2}-க்கு -x_{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{2}+1-3x_{3}+4x_{3}=3$$

4x_{3}-க்கு 1-3x_{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{2}+x_{3}+1=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1+x_{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{2}=2-x_{3}$$

x_{1}=-x_{2}+1-3x_{3}-இல் x_{2}-க்கு 2-x_{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x_{1}=-\left(2-x_{3}\right)+1-3x_{3}$$

2-x_{3}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x_{1}=x_{3}-2+1-3x_{3}$$

-2+x_{3}-க்கு 1-3x_{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{1}=-2x_{3}-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=-2x_{3}-1,x_{2}=2-x_{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1,x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1-3x_{3}\\3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(1-3x_{3}\right)-\left(3-4x_{3}\right)\\-\left(1-3x_{3}\right)+3-4x_{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2x_{3}-1\\2-x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x_{1} மற்றும் x_{2}-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x_{1}=-2x_{3}-1,x_{2}=2-x_{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1,x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1-இலிருந்து x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}-x_{1}+x_{2}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{3}=1-3$$

-x_{1}-க்கு x_{1}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x_{1} மற்றும் -x_{1} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x_{2}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{3}=1-3$$

-2x_{2}-க்கு x_{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x_{2}+3x_{3}-4x_{3}=1-3$$

-4x_{3}-க்கு 3x_{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x_{2}-x_{3}=1-3$$

-3-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x_{2}-x_{3}=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் x_{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x_{2}=x_{3}-2$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{2}=2-x_{3}$$

x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3-இல் x_{2}-க்கு 2-x_{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x_{1}+2\left(2-x_{3}\right)+4x_{3}=3$$

2-x_{3}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x_{1}+4-2x_{3}+4x_{3}=3$$

4x_{3}-க்கு 4-2x_{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{1}+2x_{3}+4=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4+2x_{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x_{1}=-2x_{3}-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=-2x_{3}-1,x_{2}=2-x_{3}$$