{l}{x-y=5000}{1.15x-0.9y=9500}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5000 } \\ { 1.15 x - 0.9 y = 9500 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=20000$$

$$y=15000$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=5000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+5000$$

பிற சமன்பாடு 1.15x-0.9y=9500-இல் x-க்கு y+5000-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$1.15\left(y+5000\right)-0.9y=9500$$

y+5000-ஐ 1.15 முறை பெருக்கவும்.

$$1.15y+5750-0.9y=9500$$

-\frac{9y}{10}-க்கு \frac{23y}{20}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.25y+5750=9500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5750-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.25y=3750$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=15000$$

x=y+5000-இல் y-க்கு 15000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=15000+5000$$

15000-க்கு 5000-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=20000$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=20000,y=15000$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1.15&-0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.9}{-0.9-\left(-1.15\right)}&-\frac{-1}{-0.9-\left(-1.15\right)}\\-\frac{1.15}{-0.9-\left(-1.15\right)}&\frac{1}{-0.9-\left(-1.15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3.6&4\\-4.6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5000\\9500\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3.6\times 5000+4\times 9500\\-4.6\times 5000+4\times 9500\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20000\\15000\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=20000,y=15000$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=5000,1.15x-0.9y=9500$$

x மற்றும் \frac{23x}{20}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1.15-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$1.15x+1.15\left(-1\right)y=1.15\times 5000,1.15x-0.9y=9500$$

எளிமையாக்கவும்.

$$1.15x-1.15y=5750,1.15x-0.9y=9500$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 1.15x-1.15y=5750-இலிருந்து 1.15x-0.9y=9500-ஐக் கழிக்கவும்.

$$1.15x-1.15x-1.15y+0.9y=5750-9500$$

-\frac{23x}{20}-க்கு \frac{23x}{20}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{23x}{20} மற்றும் -\frac{23x}{20} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-1.15y+0.9y=5750-9500$$

\frac{9y}{10}-க்கு -\frac{23y}{20}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.25y=5750-9500$$

-9500-க்கு 5750-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.25y=-3750$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=15000$$

1.15x-0.9y=9500-இல் y-க்கு 15000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$1.15x-0.9\times 15000=9500$$

15000-ஐ -0.9 முறை பெருக்கவும்.

$$1.15x-13500=9500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 13500-ஐக் கூட்டவும்.

$$1.15x=23000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 1.15-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=20000$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=20000,y=15000$$