{l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+10$$

பிற சமன்பாடு 2x+2y+\frac{1}{2}=200-இல் x-க்கு y+10-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

y+10-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

\frac{1}{2}-க்கு 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{41}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=\frac{359}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10-இல் y-க்கு \frac{359}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

\frac{359}{8}-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{439}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x-2y=20-இலிருந்து 2x+2y+\frac{1}{2}=200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2x மற்றும் -2x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

-200-க்கு 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200-இல் y-க்கு \frac{359}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

\frac{359}{8}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{2} உடன் \frac{359}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{361}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=\frac{439}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{439}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$