{l}{x-2y=-6}{6x+3y=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-2y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2y-6$$

பிற சமன்பாடு 6x+3y=2-இல் x-க்கு -6+2y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

-6+2y-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$12y-36+3y=2$$

3y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y-36=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 36-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=38$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{38}{15}$$

x=2y-6-இல் y-க்கு \frac{38}{15}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

\frac{38}{15}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{76}{15}-6$$

\frac{76}{15}-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{14}{15}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x-12y=-36-இலிருந்து 6x+3y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12y-3y=-36-2$$

-3y-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=-36-2$$

-2-க்கு -36-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=-38$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{38}{15}$$

6x+3y=2-இல் y-க்கு \frac{38}{15}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

\frac{38}{15}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{38}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-\frac{28}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{15}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$