{l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

2x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x-3y=2+3$$

2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$-4x-3y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=4x-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-4x=-2$$

5x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-4x-3y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=3y+5$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

பிற சமன்பாடு x+y=-2-இல் x-க்கு \frac{-3y-5}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

y-க்கு -\frac{3y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-3-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{9}{4} உடன் -\frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

2x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x-3y=2+3$$

2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$-4x-3y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=4x-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-4x=-2$$

5x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+y=-2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

2x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x-3y=2+3$$

2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$-4x-3y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=4x-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-4x=-2$$

5x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+y=-2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -4x-3y=5-இலிருந்து -4x-4y=8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

4x-க்கு -4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -4x மற்றும் 4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3y+4y=5-8$$

4y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=5-8$$

-8-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-3$$

x+y=-2-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-3=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$