{l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

பிரதியீடு மற்றும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்துவதன் மூலம் x-க்கான x+y=a-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=a$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+a$$

பிற சமன்பாடு y^{2}+x^{2}=9-இல் x-க்கு -y+a-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

-y+a-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

y^{2}-க்கு y^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 1+1\left(-1\right)^{2}, b-க்குப் பதிலாக 1\left(-1\right)\times 2a மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -9+a^{2}-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2a-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

-9+a^{2}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

72-8a^{2}-க்கு 4a^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

72-4a^{2}-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}-ஐத் தீர்க்கவும். 2\sqrt{18-a^{2}}-க்கு 2a-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{18-a^{2}}-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}-ஐத் தீர்க்கவும். 2a–இலிருந்து 2\sqrt{18-a^{2}}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{18-a^{2}}-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y-க்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளன: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} மற்றும் \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, x=-y+a சமன்பாட்டில் y-க்காக \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, இப்போது x=-y+a சமன்பாட்டில் y-க்காக \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ஐப் பிரதியிட்டு, தீர்க்கவும்.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

பிரதியீடு மற்றும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்துவதன் மூலம் x-க்கான x+y=a-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=a$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+a$$

பிற சமன்பாடு y^{2}+x^{2}=9-இல் x-க்கு -y+a-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

-y+a-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

y^{2}-க்கு y^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 1+1\left(-1\right)^{2}, b-க்குப் பதிலாக 1\left(-1\right)\times 2a மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -9+a^{2}-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2a-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

-9+a^{2}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

72-8a^{2}-க்கு 4a^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

72-4a^{2}-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}-ஐத் தீர்க்கவும். 2\sqrt{18-a^{2}}-க்கு 2a-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{18-a^{2}}-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}-ஐத் தீர்க்கவும். 2a–இலிருந்து 2\sqrt{18-a^{2}}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{18-a^{2}}-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y-க்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளன: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} மற்றும் \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, x=-y+a சமன்பாட்டில் y-க்காக \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, இப்போது x=-y+a சமன்பாட்டில் y-க்காக \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ஐப் பிரதியிட்டு, தீர்க்கவும்.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$