{l}{x+y=250}{x/19+y/10=16}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=190$$

$$y=60$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=250$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+250$$

பிற சமன்பாடு \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16-இல் x-க்கு -y+250-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=16$$

-y+250-ஐ \frac{1}{19} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=16$$

\frac{y}{10}-க்கு -\frac{y}{19}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{250}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{9}{190}y=\frac{54}{19}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{9}{190}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=60$$

x=-y+250-இல் y-க்கு 60-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-60+250$$

-60-க்கு 250-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=190$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=190,y=60$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 16\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\60\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=190,y=60$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

x மற்றும் \frac{x}{19}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{19}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19}-இலிருந்து \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-16$$

-\frac{x}{19}-க்கு \frac{x}{19}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{x}{19} மற்றும் -\frac{x}{19} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-16$$

-\frac{y}{10}-க்கு \frac{y}{19}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-16$$

-16-க்கு \frac{250}{19}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{54}{19}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{190}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=60$$

\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=16-இல் y-க்கு 60-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times 60=16$$

60-ஐ \frac{1}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{19}x+6=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{19}x=10$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=190$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=190,y=60$$