{l}{x+y=220}{x+180-1.5y=320}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { x + 180 - 1.5 y = 320 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=188$$

$$y=32$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=220$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+220$$

பிற சமன்பாடு x-1.5y+180=320-இல் x-க்கு -y+220-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-y+220-1.5y+180=320$$

-\frac{3y}{2}-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2.5y+220+180=320$$

180-க்கு 220-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2.5y+400=320$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 400-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2.5y=-80$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -2.5-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=32$$

x=-y+220-இல் y-க்கு 32-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-32+220$$

-32-க்கு 220-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=188$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=188,y=32$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.5}{-1.5-1}&-\frac{1}{-1.5-1}\\-\frac{1}{-1.5-1}&\frac{1}{-1.5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6&0.4\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6\times 220+0.4\times 140\\0.4\times 220-0.4\times 140\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}188\\32\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=188,y=32$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+y=220-இலிருந்து x-1.5y+180=320-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-x+y+1.5y-180=220-320$$

-x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x மற்றும் -x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$y+1.5y-180=220-320$$

\frac{3y}{2}-க்கு y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2.5y-180=220-320$$

-320-க்கு 220-ஐக் கூட்டவும்.

$$2.5y-180=-100$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 180-ஐக் கூட்டவும்.

$$2.5y=80$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2.5-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=32$$

x-1.5y+180=320-இல் y-க்கு 32-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-1.5\times 32+180=320$$

32-ஐ -1.5 முறை பெருக்கவும்.

$$x-48+180=320$$

180-க்கு -48-ஐக் கூட்டவும்.

$$x+132=320$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 132-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=188$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=188,y=32$$