{l}{x+my=a}{x-ny=b}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+my=a$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் my-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

பிற சமன்பாடு x+\left(-n\right)y=b-இல் x-க்கு a-my-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-ny-க்கு -my-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

இரு பக்கங்களையும் -m-n-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a-இல் y-க்கு -\frac{b-a}{m+n}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-\frac{b-a}{m+n}-ஐ -m முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}-க்கு a-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+my=a-இலிருந்து x+\left(-n\right)y=b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-x+my+ny=a-b$$

-x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x மற்றும் -x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$my+ny=a-b$$

ny-க்கு my-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

இரு பக்கங்களையும் m+n-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b-இல் y-க்கு \frac{a-b}{m+n}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

\frac{a-b}{m+n}-ஐ -n முறை பெருக்கவும்.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{n\left(a-b\right)}{m+n}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$