{l}{m+b=8}{4m+b=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + b = 8 } \\ { 4 m + b = - 2 } \end{array} \right.$$

m, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$b = \frac{34}{3} = 11\frac{1}{3} \approx 11.333333333$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$m+b=8,4m+b=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$m+b=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$m=-b+8$$

பிற சமன்பாடு 4m+b=-2-இல் m-க்கு -b+8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-b+8\right)+b=-2$$

-b+8-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-4b+32+b=-2$$

b-க்கு -4b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3b+32=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 32-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3b=-34$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{34}{3}$$

m=-b+8-இல் b-க்கு \frac{34}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=-\frac{34}{3}+8$$

-\frac{34}{3}-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$m=-\frac{10}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-\frac{10}{3},b=\frac{34}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$m+b=8,4m+b=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{1}{1-4}\\-\frac{4}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{4}{3}\times 8-\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3}\\\frac{34}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=-\frac{10}{3},b=\frac{34}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$m+b=8,4m+b=-2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் m+b=8-இலிருந்து 4m+b=-2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$m-4m+b-b=8+2$$

-b-க்கு b-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் b மற்றும் -b ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$m-4m=8+2$$

-4m-க்கு m-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3m=8+2$$

2-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3m=10$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=-\frac{10}{3}$$

4m+b=-2-இல் m-க்கு -\frac{10}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4\left(-\frac{10}{3}\right)+b=-2$$

-\frac{10}{3}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{40}{3}+b=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{40}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$b=\frac{34}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-\frac{10}{3},b=\frac{34}{3}$$