{l}{ax+by=3}{5x-cy=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 3 } \\ { 5 x - c y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{b+3c}{ac+5b}\text{, }y=-\frac{a-15}{ac+5b}\text{, }&b\neq -\frac{ac}{5}\\x=\frac{3-by}{15}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=15\text{ and }b=-3c\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$ax+by=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் by-ஐக் கழிக்கவும்.

$$ax=\left(-b\right)y+3$$

இரு பக்கங்களையும் a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+3\right)$$

-by+3-ஐ \frac{1}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}$$

பிற சமன்பாடு 5x+\left(-c\right)y=1-இல் x-க்கு \frac{-by+3}{a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}\right)+\left(-c\right)y=1$$

\frac{-by+3}{a}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}+\left(-c\right)y=1$$

-cy-க்கு -\frac{5by}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y+\frac{15}{a}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{15}{a}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-c-\frac{5b}{a}\right)y=\frac{a-15}{a}$$

இரு பக்கங்களையும் -\frac{5b}{a}-c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{a-15}{ac+5b}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{3}{a}-இல் y-க்கு -\frac{-15+a}{5b+ac}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\left(-\frac{a-15}{ac+5b}\right)+\frac{3}{a}$$

-\frac{-15+a}{5b+ac}-ஐ -\frac{b}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{b\left(a-15\right)}{a\left(ac+5b\right)}+\frac{3}{a}$$

\frac{b\left(-15+a\right)}{a\left(5b+ac\right)}-க்கு \frac{3}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{b+3c}{ac+5b}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=-\frac{a-15}{ac+5b}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\5&-c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{c}{a\left(-c\right)-b\times 5}&-\frac{b}{a\left(-c\right)-b\times 5}\\-\frac{5}{a\left(-c\right)-b\times 5}&\frac{a}{a\left(-c\right)-b\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}&\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}&-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{ac+5b}\times 3+\frac{b}{ac+5b}\\\frac{5}{ac+5b}\times 3-\frac{a}{ac+5b}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b+3c}{ac+5b}\\\frac{15-a}{ac+5b}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$ax+by=3,5x+\left(-c\right)y=1$$

ax மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5ax+5by=5\times 3,a\times 5x+a\left(-c\right)y=a$$

எளிமையாக்கவும்.

$$5ax+5by=15,5ax+\left(-ac\right)y=a$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5ax+5by=15-இலிருந்து 5ax+\left(-ac\right)y=a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5ax+\left(-5a\right)x+5by+acy=15-a$$

-5ax-க்கு 5ax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5ax மற்றும் -5ax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5by+acy=15-a$$

acy-க்கு 5by-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(ac+5b\right)y=15-a$$

இரு பக்கங்களையும் 5b+ac-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{15-a}{ac+5b}$$

5x+\left(-c\right)y=1-இல் y-க்கு \frac{15-a}{5b+ac}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x+\left(-c\right)\times \frac{15-a}{ac+5b}=1$$

\frac{15-a}{5b+ac}-ஐ -c முறை பெருக்கவும்.

$$5x-\frac{c\left(15-a\right)}{ac+5b}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{c\left(15-a\right)}{5b+ac}-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=\frac{5\left(b+3c\right)}{ac+5b}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{b+3c}{ac+5b}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{b+3c}{ac+5b},y=\frac{15-a}{ac+5b}$$