{l}{a+b=7}{10a+b+45=10b+a}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 7 } \\ { 10 a + b + 45 = 10 b + a } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=1$$

$$b=6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a+b+45-10b=a$$

b மற்றும் -10b-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9b.

$$10a-9b+45=a$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a-9b+45-a=0$$

10a மற்றும் -a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9a.

$$9a-9b+45=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 45-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$9a-9b=-45$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$a+b=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a=-b+7$$

பிற சமன்பாடு 9a-9b=-45-இல் a-க்கு -b+7-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-b+7\right)-9b=-45$$

-b+7-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-9b+63-9b=-45$$

-9b-க்கு -9b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-18b+63=-45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 63-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-18b=-108$$

இரு பக்கங்களையும் -18-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=6$$

a=-b+7-இல் b-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-6+7$$

-6-க்கு 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$a=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=1,b=6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a+b+45-10b=a$$

b மற்றும் -10b-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9b.

$$10a-9b+45=a$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a-9b+45-a=0$$

10a மற்றும் -a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9a.

$$9a-9b+45=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 45-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$9a-9b=-45$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-9}&-\frac{1}{-9-9}\\-\frac{9}{-9-9}&\frac{1}{-9-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{18}\left(-45\right)\\\frac{1}{2}\times 7-\frac{1}{18}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=1,b=6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a+b+45-10b=a$$

b மற்றும் -10b-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9b.

$$10a-9b+45=a$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10a-9b+45-a=0$$

10a மற்றும் -a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9a.

$$9a-9b+45=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 45-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$9a-9b=-45$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

a மற்றும் 9a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9a+9b=9\times 7,9a-9b=-45$$

எளிமையாக்கவும்.

$$9a+9b=63,9a-9b=-45$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 9a+9b=63-இலிருந்து 9a-9b=-45-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9a-9a+9b+9b=63+45$$

-9a-க்கு 9a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 9a மற்றும் -9a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$9b+9b=63+45$$

9b-க்கு 9b-ஐக் கூட்டவும்.

$$18b=63+45$$

45-க்கு 63-ஐக் கூட்டவும்.

$$18b=108$$

இரு பக்கங்களையும் 18-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=6$$

9a-9b=-45-இல் b-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9a-9\times 6=-45$$

6-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$9a-54=-45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 54-ஐக் கூட்டவும்.

$$9a=9$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=1,b=6$$