{l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$9x+2y=62$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x=-2y+62$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

-2y+62-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

பிற சமன்பாடு 4x+4y=36-இல் x-க்கு \frac{-2y+62}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

\frac{-2y+62}{9}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

4y-க்கு -\frac{8y}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{248}{9}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{28}{9}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}-இல் y-க்கு \frac{19}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{19}{7}-ஐ -\frac{2}{9} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{38}{63} உடன் \frac{62}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{44}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

9x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

எளிமையாக்கவும்.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 36x+8y=248-இலிருந்து 36x+36y=324-ஐக் கழிக்கவும்.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

-36x-க்கு 36x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 36x மற்றும் -36x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8y-36y=248-324$$

-36y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-28y=248-324$$

-324-க்கு 248-ஐக் கூட்டவும்.

$$-28y=-76$$

இரு பக்கங்களையும் -28-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{19}{7}$$

4x+4y=36-இல் y-க்கு \frac{19}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

\frac{19}{7}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{76}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=\frac{176}{7}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{44}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$