{l}{8a-4b=20}{5a-8b=62}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 a - 4 b = 20 } \\ { 5 a - 8 b = 62 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=-2$$

$$b=-9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$8a-4b=20,5a-8b=62$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$8a-4b=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4b-ஐக் கூட்டவும்.

$$8a=4b+20$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{8}\left(4b+20\right)$$

20+4b-ஐ \frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு 5a-8b=62-இல் a-க்கு \frac{5+b}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}\right)-8b=62$$

\frac{5+b}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{5}{2}b+\frac{25}{2}-8b=62$$

-8b-க்கு \frac{5b}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{2}b+\frac{25}{2}=62$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{25}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{11}{2}b=\frac{99}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{11}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$b=-9$$

a=\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}-இல் b-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{5}{2}$$

-9-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{-9+5}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{9}{2} உடன் \frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-2,b=-9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8a-4b=20,5a-8b=62$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{8\left(-8\right)-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{8\left(-8\right)-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{8\left(-8\right)-\left(-4\times 5\right)}&\frac{8}{8\left(-8\right)-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{5}{44}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\62\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 20-\frac{1}{11}\times 62\\\frac{5}{44}\times 20-\frac{2}{11}\times 62\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=-2,b=-9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$8a-4b=20,5a-8b=62$$

8a மற்றும் 5a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 8a+5\left(-4\right)b=5\times 20,8\times 5a+8\left(-8\right)b=8\times 62$$

எளிமையாக்கவும்.

$$40a-20b=100,40a-64b=496$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 40a-20b=100-இலிருந்து 40a-64b=496-ஐக் கழிக்கவும்.

$$40a-40a-20b+64b=100-496$$

-40a-க்கு 40a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 40a மற்றும் -40a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-20b+64b=100-496$$

64b-க்கு -20b-ஐக் கூட்டவும்.

$$44b=100-496$$

-496-க்கு 100-ஐக் கூட்டவும்.

$$44b=-396$$

இரு பக்கங்களையும் 44-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=-9$$

5a-8b=62-இல் b-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5a-8\left(-9\right)=62$$

-9-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$5a+72=62$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 72-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5a=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-2,b=-9$$