{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் u-ஐத் தனிப்படுத்தி u-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6u+4v=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4v-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6u=-4v+5$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

-4v+5-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

பிற சமன்பாடு 9u-8v=4-இல் u-க்கு -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-8v-க்கு -6v-ஐக் கூட்டவும்.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{15}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -14-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}-இல் v-க்கு \frac{1}{4}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{1}{4}-ஐ -\frac{2}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{6} உடன் \frac{5}{6}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$u=\frac{2}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் u மற்றும் v-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u மற்றும் 9u-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 54u+36v=45-இலிருந்து 54u-48v=24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

-54u-க்கு 54u-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 54u மற்றும் -54u ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$36v+48v=45-24$$

48v-க்கு 36v-ஐக் கூட்டவும்.

$$84v=45-24$$

-24-க்கு 45-ஐக் கூட்டவும்.

$$84v=21$$

இரு பக்கங்களையும் 84-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4-இல் v-க்கு \frac{1}{4}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

\frac{1}{4}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$9u-2=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$9u=6$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=\frac{2}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$