{l}{50x+y=200}{60x+y=260}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=6$$

$$y=-100$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$50x+y=200$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$50x=-y+200$$

இரு பக்கங்களையும் 50-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

-y+200-ஐ \frac{1}{50} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

பிற சமன்பாடு 60x+y=260-இல் x-க்கு -\frac{y}{50}+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

-\frac{y}{50}+4-ஐ 60 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

y-க்கு -\frac{6y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 240-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-100$$

x=-\frac{1}{50}y+4-இல் y-க்கு -100-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

-100-ஐ -\frac{1}{50} முறை பெருக்கவும்.

$$x=2+4$$

2-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=-100$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=6,y=-100$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 50x+y=200-இலிருந்து 60x+y=260-ஐக் கழிக்கவும்.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$50x-60x=200-260$$

-60x-க்கு 50x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10x=200-260$$

-260-க்கு 200-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10x=-60$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=6$$

60x+y=260-இல் x-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$60\times 6+y=260$$

6-ஐ 60 முறை பெருக்கவும்.

$$360+y=260$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 360-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-100$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=-100$$