{l}{5y+2y=3x-2y/4}{y+4x/3=1-2y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 y = \frac { 3 x - 2 y } { 4 } } \\ { \frac { y + 4 x } { 3 } = 1 - 2 y } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{30}{47}\approx 0.638297872$$

$$y=\frac{3}{47}\approx 0.063829787$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y+8y=3x-2y$$

20y மற்றும் 8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 28y.

$$28y=3x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$28y-3x=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$28y-3x+2y=0$$

28y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 30y.

$$30y-3x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+4x=3-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+4x+6y=3$$

y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y+4x=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$30y-3x=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$30y=3x$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{30}\times 3x$$

3x-ஐ \frac{1}{30} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{1}{10}x$$

பிற சமன்பாடு 7y+4x=3-இல் y-க்கு \frac{x}{10}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\times \frac{1}{10}x+4x=3$$

\frac{x}{10}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{7}{10}x+4x=3$$

4x-க்கு \frac{7x}{10}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{47}{10}x=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{47}{10}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{30}{47}$$

y=\frac{1}{10}x-இல் x-க்கு \frac{30}{47}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{1}{10}\times \frac{30}{47}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{30}{47}-ஐ \frac{1}{10} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{3}{47}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y+8y=3x-2y$$

20y மற்றும் 8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 28y.

$$28y=3x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$28y-3x=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$28y-3x+2y=0$$

28y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 30y.

$$30y-3x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+4x=3-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+4x+6y=3$$

y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y+4x=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&\frac{30}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{141}&\frac{1}{47}\\-\frac{7}{141}&\frac{10}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\times 3\\\frac{10}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{47}\\\frac{30}{47}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y+8y=3x-2y$$

20y மற்றும் 8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 28y.

$$28y=3x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$28y-3x=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$28y-3x+2y=0$$

28y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 30y.

$$30y-3x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+4x=3-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y+4x+6y=3$$

y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y+4x=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

30y மற்றும் 7y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 30-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 30y+7\left(-3\right)x=0,30\times 7y+30\times 4x=30\times 3$$

எளிமையாக்கவும்.

$$210y-21x=0,210y+120x=90$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 210y-21x=0-இலிருந்து 210y+120x=90-ஐக் கழிக்கவும்.

$$210y-210y-21x-120x=-90$$

-210y-க்கு 210y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 210y மற்றும் -210y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-21x-120x=-90$$

-120x-க்கு -21x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-141x=-90$$

இரு பக்கங்களையும் -141-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{30}{47}$$

7y+4x=3-இல் x-க்கு \frac{30}{47}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7y+4\times \frac{30}{47}=3$$

\frac{30}{47}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$7y+\frac{120}{47}=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{120}{47}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7y=\frac{21}{47}$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{47}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$