{l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-2y=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=2y+14$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

14+2y-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

பிற சமன்பாடு 3x+7y=21-இல் x-க்கு \frac{14+2y}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

\frac{14+2y}{5}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

7y-க்கு \frac{6y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{42}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{41}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{63}{41}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}-இல் y-க்கு \frac{63}{41}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{63}{41}-ஐ \frac{2}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{126}{205} உடன் \frac{14}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{140}{41}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

எளிமையாக்கவும்.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 15x-6y=42-இலிருந்து 15x+35y=105-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

-15x-க்கு 15x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 15x மற்றும் -15x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6y-35y=42-105$$

-35y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-41y=42-105$$

-105-க்கு 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$-41y=-63$$

இரு பக்கங்களையும் -41-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{63}{41}$$

3x+7y=21-இல் y-க்கு \frac{63}{41}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

\frac{63}{41}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{441}{41}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=\frac{420}{41}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{140}{41}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$