{l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=160$$

$$y=180$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2x+4y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$1020=2060-2x-4y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$2060-2x-4y=1020$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2060-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020-இலிருந்து 2060-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+7y=2060$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-7y+2060$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

-7y+2060-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

பிற சமன்பாடு -2x-4y=-1040-இல் x-க்கு -\frac{7y}{5}+412-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-\frac{7y}{5}+412-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

-4y-க்கு \frac{14y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 824-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{6}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=180$$

x=-\frac{7}{5}y+412-இல் y-க்கு 180-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

180-ஐ -\frac{7}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-252+412$$

-252-க்கு 412-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=160$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=160,y=180$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2x+4y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$1020=2060-2x-4y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$2060-2x-4y=1020$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2060-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020-இலிருந்து 2060-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=160,y=180$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2x+4y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$1020=2060-2x-4y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$2060-2x-4y=1020$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2060-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020-இலிருந்து 2060-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -10x-14y=-4120-இலிருந்து -10x-20y=-5200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

10x-க்கு -10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -10x மற்றும் 10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

20y-க்கு -14y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=-4120+5200$$

5200-க்கு -4120-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=1080$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=180$$

-2x-4y=-1040-இல் y-க்கு 180-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

180-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-720=-1040$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 720-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-320$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=160$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=160,y=180$$