{l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4a-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ay-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=ay+4a$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

a\left(4+y\right)-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

பிற சமன்பாடு ax-4y+6a=0-இல் x-க்கு a+\frac{ay}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a+\frac{ay}{4}-ஐ a முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

-4y-க்கு \frac{a^{2}y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

6a-க்கு a^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் a\left(6+a\right)-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

இரு பக்கங்களையும் -4+\frac{a^{2}}{4}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

x=\frac{a}{4}y+a-இல் y-க்கு -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}-ஐ \frac{a}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

-\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}-க்கு a-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x மற்றும் ax-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0-இலிருந்து 4ax-16y+24a=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-4ax-க்கு 4ax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4ax மற்றும் -4ax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

16y-க்கு -a^{2}y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-24a-க்கு -4a^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4a\left(6+a\right)-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

இரு பக்கங்களையும் -a^{2}+16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ax-4y+6a=0-இல் y-க்கு \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

6a-க்கு -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}-ஐக் கூட்டவும்.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)}-ஐக் கூட்டவும்.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

இரு பக்கங்களையும் a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$