{l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-5y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=5y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

5y+7-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=1-இல் x-க்கு \frac{5y+7}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

\frac{5y+7}{4}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

3y-க்கு \frac{5y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{7}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{11}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}-இல் y-க்கு -\frac{5}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{5}{11}-ஐ \frac{5}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{25}{44} உடன் \frac{7}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{13}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x-10y=14-இலிருந்து 8x+12y=4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10y-12y=14-4$$

-12y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=14-4$$

-4-க்கு 14-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=10$$

இரு பக்கங்களையும் -22-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{5}{11}$$

2x+3y=1-இல் y-க்கு -\frac{5}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

-\frac{5}{11}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{15}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=\frac{26}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{13}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$