{l}{4x-2y=8}{2x+y=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-2y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=2y+8$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

8+2y-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

பிற சமன்பாடு 2x+y=2-இல் x-க்கு \frac{y}{2}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

\frac{y}{2}+2-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$y+4+y=2$$

y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y+4=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y=-2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y+2-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

-1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

-\frac{1}{2}-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

4x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x-4y=16-இலிருந்து 8x+4y=8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-4y-4y=16-8$$

-4y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y=16-8$$

-8-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y=8$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

2x+y=2-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x-1=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$