{l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+y=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-y-5$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

-y-5-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3x-2y=-14-இல் x-க்கு \frac{-y-5}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

\frac{-y-5}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

-2y-க்கு -\frac{3y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{15}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{11}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{41}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}-இல் y-க்கு \frac{41}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{41}{11}-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{41}{44} உடன் -\frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{24}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

4x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x+3y=-15-இலிருந்து 12x-8y=-56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y+8y=-15+56$$

8y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$11y=-15+56$$

56-க்கு -15-ஐக் கூட்டவும்.

$$11y=41$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{41}{11}$$

3x-2y=-14-இல் y-க்கு \frac{41}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

\frac{41}{11}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{82}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{24}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$