{l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=17$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+3y=71$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-3y+71$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

-3y+71-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

பிற சமன்பாடு 7x+5y=120-இல் x-க்கு \frac{-3y+71}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

\frac{-3y+71}{4}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

5y-க்கு -\frac{21y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{497}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=17$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}-இல் y-க்கு 17-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

17-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{51}{4} உடன் \frac{71}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=17$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=5,y=17$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

எளிமையாக்கவும்.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 28x+21y=497-இலிருந்து 28x+20y=480-ஐக் கழிக்கவும்.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

-28x-க்கு 28x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 28x மற்றும் -28x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$21y-20y=497-480$$

-20y-க்கு 21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=497-480$$

-480-க்கு 497-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=17$$

7x+5y=120-இல் y-க்கு 17-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x+5\times 17=120$$

17-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$7x+85=120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 85-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x=35$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=17$$