{l}{4x+3y=7}{7x-7y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 7 } \\ { 7 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{52}{49} = 1\frac{3}{49} \approx 1.06122449$$

$$y=\frac{45}{49}\approx 0.918367347$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+3y=7,7x-7y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+3y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-3y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+7\right)$$

-3y+7-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}$$

பிற சமன்பாடு 7x-7y=1-இல் x-க்கு \frac{-3y+7}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}\right)-7y=1$$

\frac{-3y+7}{4}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{49}{4}-7y=1$$

-7y-க்கு -\frac{21y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{49}{4}y+\frac{49}{4}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{49}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{49}{4}y=-\frac{45}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{49}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{45}{49}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}-இல் y-க்கு \frac{45}{49}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{45}{49}+\frac{7}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{45}{49}-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{135}{196}+\frac{7}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{135}{196} உடன் \frac{7}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{52}{49}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{52}{49},y=\frac{45}{49}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+3y=7,7x-7y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-3\times 7}&-\frac{3}{4\left(-7\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{4\left(-7\right)-3\times 7}&\frac{4}{4\left(-7\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{49}\\\frac{1}{7}&-\frac{4}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{3}{49}\\\frac{1}{7}\times 7-\frac{4}{49}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{49}\\\frac{45}{49}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{52}{49},y=\frac{45}{49}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+3y=7,7x-7y=1$$

4x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 7,4\times 7x+4\left(-7\right)y=4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$28x+21y=49,28x-28y=4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 28x+21y=49-இலிருந்து 28x-28y=4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$28x-28x+21y+28y=49-4$$

-28x-க்கு 28x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 28x மற்றும் -28x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$21y+28y=49-4$$

28y-க்கு 21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$49y=49-4$$

-4-க்கு 49-ஐக் கூட்டவும்.

$$49y=45$$

இரு பக்கங்களையும் 49-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{45}{49}$$

7x-7y=1-இல் y-க்கு \frac{45}{49}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x-7\times \frac{45}{49}=1$$

\frac{45}{49}-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$7x-\frac{45}{7}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{45}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$7x=\frac{52}{7}$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{52}{49}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{52}{49},y=\frac{45}{49}$$