{l}{4x+3y=26}{3x-11y=-7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 26 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+3y=26$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-3y+26$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+26\right)$$

-3y+26-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}$$

பிற சமன்பாடு 3x-11y=-7-இல் x-க்கு -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}\right)-11y=-7$$

-\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{2}-11y=-7$$

-11y-க்கு -\frac{9y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{39}{2}=-7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{39}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{53}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{53}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{13}{2}$$

2-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{3}{2} உடன் \frac{13}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-11\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}&\frac{3}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}\times 26+\frac{3}{53}\left(-7\right)\\\frac{3}{53}\times 26-\frac{4}{53}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=5,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

4x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 26,4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x+9y=78,12x-44y=-28$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x+9y=78-இலிருந்து 12x-44y=-28-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x+9y+44y=78+28$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$9y+44y=78+28$$

44y-க்கு 9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$53y=78+28$$

28-க்கு 78-ஐக் கூட்டவும்.

$$53y=106$$

இரு பக்கங்களையும் 53-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

3x-11y=-7-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x-11\times 2=-7$$

2-ஐ -11 முறை பெருக்கவும்.

$$3x-22=-7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 22-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=15$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=2$$