{l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m=-2$$

$$n=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4m+9n=-35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4m=-9n-35$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

-9n-35-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3m-8n=18-இல் m-க்கு \frac{-9n-35}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

\frac{-9n-35}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-8n-க்கு -\frac{27n}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{105}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{59}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}-இல் n-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-3-ஐ -\frac{9}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{27}{4} உடன் -\frac{35}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-2,n=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=-2,n=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m மற்றும் 3m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12m+27n=-105-இலிருந்து 12m-32n=72-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

-12m-க்கு 12m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12m மற்றும் -12m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$27n+32n=-105-72$$

32n-க்கு 27n-ஐக் கூட்டவும்.

$$59n=-105-72$$

-72-க்கு -105-ஐக் கூட்டவும்.

$$59n=-177$$

இரு பக்கங்களையும் 59-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-3$$

3m-8n=18-இல் n-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-3-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$3m+24=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3m=-6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-2,n=-3$$