{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7-ஐ 2y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y மற்றும் -14y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-18y=-36$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2x-4-7y=-18$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -14.

$$-2x-7y=-14$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-18y=-36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=18y-36$$

பிற சமன்பாடு -2x-7y=-14-இல் x-க்கு -36+18y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-36+18y-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-36y+72-7y=-14$$

-7y-க்கு -36y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-43y+72=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 72-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-43y=-86$$

இரு பக்கங்களையும் -43-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

x=18y-36-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=18\times 2-36$$

2-ஐ 18 முறை பெருக்கவும்.

$$x=36-36$$

36-க்கு -36-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7-ஐ 2y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y மற்றும் -14y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-18y=-36$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2x-4-7y=-18$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -14.

$$-2x-7y=-14$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7-ஐ 2y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y மற்றும் -14y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-18y=-36$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2x-4-7y=-18$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -14.

$$-2x-7y=-14$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -2x+36y=72-இலிருந்து -2x-7y=-14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

2x-க்கு -2x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -2x மற்றும் 2x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$36y+7y=72+14$$

7y-க்கு 36y-ஐக் கூட்டவும்.

$$43y=72+14$$

14-க்கு 72-ஐக் கூட்டவும்.

$$43y=86$$

இரு பக்கங்களையும் 43-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

-2x-7y=-14-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x-7\times 2=-14$$

2-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-14=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 14-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=0$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=2$$