{l}{33x-y=123}{99x+7y=129}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 33 x - y = 123 } \\ { 99 x + 7 y = 129 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=-24$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$33x-y=123,99x+7y=129$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$33x-y=123$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$33x=y+123$$

இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{33}\left(y+123\right)$$

y+123-ஐ \frac{1}{33} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{33}y+\frac{41}{11}$$

பிற சமன்பாடு 99x+7y=129-இல் x-க்கு \frac{41}{11}+\frac{y}{33}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$99\left(\frac{1}{33}y+\frac{41}{11}\right)+7y=129$$

\frac{41}{11}+\frac{y}{33}-ஐ 99 முறை பெருக்கவும்.

$$3y+369+7y=129$$

7y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y+369=129$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 369-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y=-240$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-24$$

x=\frac{1}{33}y+\frac{41}{11}-இல் y-க்கு -24-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{33}\left(-24\right)+\frac{41}{11}$$

-24-ஐ \frac{1}{33} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8+41}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{8}{11} உடன் \frac{41}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-24$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$33x-y=123,99x+7y=129$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}33&-1\\99&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33\times 7-\left(-99\right)}&-\frac{-1}{33\times 7-\left(-99\right)}\\-\frac{99}{33\times 7-\left(-99\right)}&\frac{33}{33\times 7-\left(-99\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{330}&\frac{1}{330}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\129\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{330}\times 123+\frac{1}{330}\times 129\\-\frac{3}{10}\times 123+\frac{1}{10}\times 129\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-24\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=-24$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$33x-y=123,99x+7y=129$$

33x மற்றும் 99x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 99-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 33-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$99\times 33x+99\left(-1\right)y=99\times 123,33\times 99x+33\times 7y=33\times 129$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3267x-99y=12177,3267x+231y=4257$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3267x-99y=12177-இலிருந்து 3267x+231y=4257-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3267x-3267x-99y-231y=12177-4257$$

-3267x-க்கு 3267x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3267x மற்றும் -3267x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-99y-231y=12177-4257$$

-231y-க்கு -99y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-330y=12177-4257$$

-4257-க்கு 12177-ஐக் கூட்டவும்.

$$-330y=7920$$

இரு பக்கங்களையும் -330-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-24$$

99x+7y=129-இல் y-க்கு -24-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$99x+7\left(-24\right)=129$$

-24-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$99x-168=129$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 168-ஐக் கூட்டவும்.

$$99x=297$$

இரு பக்கங்களையும் 99-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-24$$